BPRQ. Нелинейные краевые задачи для системы обыкновенных дифференциальных уравнений с параметром. Метод гомотопии / Nonlinear boundary value problems for system of ordinary differential equations with parameter. Homotopy method

Назначение - Пакет программ BPRQ предназначен для численного исследования  нелинейных краевых задач для системы из n обыкновенных дифференциальных уравнений на конечном отрезке. Достаточно общая формулировка  краевой задачи  включает параметр, в зависимости от которого изучается решение. Типичное проявление нелинейности краевой задачи выражается в возможной  неединственности решения, когда в некоторой области изменения параметра одному и тому же значению параметра  может соответствовать несколько решений. Характерным является также возникновение решений с большими градиентами.

Область применения -  Метод нашёл применение при численном исследовании достаточно большого числа краевых задач из различных приложений, таких как моделирование  каталитических процессов, нелинейные колебания и т.д.

Используемый алгоритм - Дискретная модель  краевой задачи представлена системой нелинейных уравнений, полученной в результате сплайн-коллокации с использованием кубического сплайна класса C¹. При этом погрешность аппроксимации имеет четвёртый порядок на неравномерной сетке. В пакете реализован вариант метода продолжения решения нелинейной системы по параметру, разработанный в Институте математики им. С.Л. Соболева  СО РАН. Метод учитывает возможность появления особой точки  «поворот» в процессе продолжения по параметру. Продолжение по параметру сопровождается адаптацией сетки с изменением числа узлов,  положение которых  определяется из условия равномерного распределения погрешности аппроксимации. Содержание пакета BPRQ формировалось под влиянием известных публикаций  Сергея Константиновича Годунова по методам решения линейных  краевых задач. Возможность  непосредственного  общения  с ним сыграла огромную роль в процессе разработки эффективных алгоритмов.

Основные достоинства метода:

1. Высокий порядок погрешности аппроксимации на неравномерной сетке.
2. Учёт возможности ветвления решений в особых точках типа «поворот» за счёт регулярного выбора «текущих» параметров в соответствии с теоремой о неявной функции.
3. Адаптация сетки в процессе продолжения по параметру, что позволяет строить решения с большими градиентами.
4. Экономичность метода, обусловленная учётом структуры матрицы системы линейных алгебраических уравнений, возникающих на итерациях по Ньютону, а также способом  задания шагов по «текущим» параметрам, позволяющим эффективно задавать начальное приближение.    

Рабочая версия пакета представлена на сайте ИМ СО РАН в разделе наука\ результаты \ прикладные разработки\пакет BPRQ. http://math.nsc.ru/AP/bprq/main.htm

Литература:

1. Годунов С.К. Обыкновенные дифференциальные уравнения с постоянными  коэффициентами. Краевые задачи. Издательство НГУ, 1994.-Т.1:.- 264 с.
2. Фадеев С.И. Программа численного решения нелинейных краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений с параметром //  Вычислительные методы линейной алгебры. Под редакцией С.К.Годунова.  Новосибирск, Наука,  Сибирское отделение,  1990, с.104-200.
3. Дятлов В.Л., Коняшкин В.В., Потапов Б.С.,Фадеев С.И.  Плёночная электромеханика, Новосибирск, Наука, Сибирское отделение, 1991.  248 с.
4. Фадеев С.И, Когай В.В.. Краевые задачи для систем   обыкновенных   дифференциальных уравнений. Учебное  пособие. Новосибирск.   НГУ. 2012,  278 с.